cos平方的原函数可以表示为 1/2 x + 1/4 sin 2x + C。这个结果通过把 cos²x 写成降幂形式得到，再把每一项分别积分，最后合并成包含 x 与三角函数的一个原函数形式。这里 C 为积分常数，可取任意常数，x 采用弧度单位。
核心公式
| 表达式 | 原函数结果 | 说明 |
|---|---|---|
| ∫cos²x dx | 1/2 x + 1/4 sin2x + C | 标准积分结果 |
| ∫cos²x dx | 1/2 x + 1/2 sinx cosx + C | 利用 sin2x = 2sinx cosx 改写 |
| ∫cos²x dx | 1/2 (x + sinx cosx) + C | 更紧凑的等价形式 |
计算步骤
- 先写出待积分式：
∫cos²x dx
- 使用降幂恒等式：
cos²x = (1 + cos2x) / 2
- 将积分拆成两项：
∫cos²x dx = 1/2 ∫(1 + cos2x) dx
- 分别积分：
∫1 dx = x
∫cos2x dx = 1/2 sin2x
- 合并结果并加上常数：
1/2 x + 1/4 sin2x + C
等价表达
- 形式一： 1/2 x + 1/4 sin2x + C
- 形式二： 1/2 x + 1/2 sinx cosx + C
- 形式三： 1/2 (x + sinx cosx) + C
这三种写法都代表同一个原函数家族，差别只是三角函数表达形式不同。
求导检查
对结果 1/2 x + 1/4 sin2x + C 求导：
- d/dx(1/2 x) = 1/2
- d/dx(1/4 sin2x) = 1/2 cos2x
- d/dx(C) = 0
合并得到：
1/2 + 1/2 cos2x = 1/2(1 + cos2x) = cos²x
所以原函数与 cos平方 对应得上。
【常见问题】
问题1：cos平方的原函数是什么？
回答1：cos平方的原函数是 1/2 x + 1/4 sin2x + C，也可写成 1/2 x + 1/2 sinx cosx + C。
问题2：cos平方的原函数求导后为什么能回到 cos平方？
回答2：对 cos平方的原函数 1/2 x + 1/4 sin2x + C 求导，得到 1/2 + 1/2 cos2x，再用恒等式 cos²x = (1 + cos2x)/2，就回到 cos平方。
问题3：cos平方的原函数还能写成 sinx cosx 形式吗？
回答3：可以，cos平方的原函数还可写成 1/2 x + 1/2 sinx cosx + C，这个形式与 1/2 x + 1/4 sin2x + C 完全等价。
