在数学学习中，一元二次方程是基础且重要的内容之一。今天我们要探讨的是一元二次方程：
x² - 2x - a = 0。
这个方程的形式为标准的一元二次方程，即 ax² + bx + c = 0 的形式，只不过这里的系数被具体化为：
- 二次项系数为1（即a=1）；
- 一次项系数为-2（即b=-2）；
- 常数项为-a（即c=-a）。
一、判别式的应用
对于任意一元二次方程，我们可以通过判别式来判断其根的性质。判别式公式为：
$$
\Delta = b^2 - 4ac
$$
将本题中的系数代入：
$$
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a
$$
根据判别式的值，我们可以得出以下结论：
- 当 $\Delta > 0$，即 $4 + 4a > 0$，也就是 $a > -1$ 时，方程有两个不相等的实数根；
- 当 $\Delta = 0$，即 $a = -1$ 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）；
- 当 $\Delta < 0$，即 $a < -1$ 时，方程没有实数根，只有两个共轭的复数根。
二、求根公式与解的表达
当判别式大于等于零时，我们可以使用求根公式来求出方程的解：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
$$
代入本题的系数：
$$
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4a}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{1 + a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + a}
$$
因此，该方程的两个根为：
$$
x_1 = 1 + \sqrt{1 + a}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{1 + a}
$$
三、参数a对根的影响
从上述解可以看出，参数a对根的大小和存在性有直接的影响：
- 当 $a > -1$ 时，根为实数，且随着a的增大，根的绝对值也会变大；
- 当 $a = -1$ 时，根为重根，即 $x = 1$；
- 当 $a < -1$ 时，根为复数，此时方程在实数范围内无解。
四、实际应用举例
假设题目给出的是某个实际问题的模型，例如：
> 某个物体以初速度2m/s竖直上抛，其高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为：
> $ h(t) = -t^2 + 2t + a $，
> 其中a为初始高度。问何时物体到达地面？
要找物体落地的时间，即令 $ h(t) = 0 $，得到方程：
$$
-t^2 + 2t + a = 0 \Rightarrow t^2 - 2t - a = 0
$$
这正是我们讨论的方程。通过求解可得：
$$
t = 1 \pm \sqrt{1 + a}
$$
由于时间必须为正，所以取正根：
$$
t = 1 + \sqrt{1 + a}
$$
五、总结
通过对一元二次方程 $x^2 - 2x - a = 0$ 的分析，我们了解了其根的存在性、解的形式以及参数a对其影响。这类方程不仅在数学理论中具有重要意义，在物理、工程等领域也有广泛应用。
掌握这类方程的求解方法和判别式的意义，有助于我们更好地理解函数图像的变化趋势，以及如何根据实际问题建立数学模型并进行求解。
